Уравнение логарифмов онлайн

Уравнение логарифмов онлайн

Логарифмом числа называют степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить подлогарифмичесое выражение.

Простейшее логарифмическое уравнение и его решение имеет вид:

 logax=b  x=ab

Такое логарифмическое уравнение может иметь только одно решение.

Пример 1

Начнем с азов:

 log2x=3  x=23=8 

При решении логарифмических уравнений часто пользуются свойствами логарифмов, которые надо знать:

  • логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:
     logaxy=logax + logay 
  • логарифм дроби равен разности логарифмов делимого и делителя:
     loga(x/y)=logax - logay 
  • логарим степени равен произведению показателя степени на логарифм основания:
     logaxy=y·logax 

Решим уравнение посложнее:

Пример 2

 log2(x2-3x+10)=3 (x2-3x+10)=23 (x2-3x+10)=8 (x2-3x+2)=0 

Решая квадратное уравнение получим два корня, которые и будут решением исходного логарифмического уравнения:

 x1=1 x2=2 

Часто при решении логарифмических уравнений логарифм присутствует в обеих частях уравнения:

 logax=logay 

Логарифмические уравнения подобного типа решаются с помощью системы уравнений:

 x=y x>0 y>0 

Первое уравнение отражает условие, что, если равны логарифмы по одинаковому основанию, то равны и подлагирфмические выражения. Второе и третье неравенства верны, поскольку подлогарифмическая функция определна только на множестве положительных чисел (подлогарифмическое выражение может быть только положительным).

Пример 3

 log2(x+5)=log2(2x-1)  (x+5)=(2x-1) x+5>0 2x-1>0  x=6 x>-5 x>1/2 

Найденный корень уравнения (число 6) удовлетворяет двум условиям (число 6 больше -5 и больше 1/2), поэтому, число 6 является решением исходного логарифмического уравнения.

В случае, если найденный корень не удовлетворяет хотя бы одному из условий — такое логарифмическое уравнение не будет иметь решений.

ВАЖНО! Найденный корень (корни) логарифмического уравнения всегда следует подставлять в подлогарифмическое выражение и проверять будет ли оно положительным, если это не так, то уравнение не имеет решения.

Пример 4

 lg(x+1)+lg(x-1)=1  lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x+1)(x-1)  lg(x+1)(x-1)=1 (x+1)(x-1)=101 x2-1=10  x1,2=±√11 

Чтобы установить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению, решим систему из двух неравенств:

 (x+1)>0 (x-1)>0  x>-1 x>1 

Такому условию удовлетворяет только корень √11, который и будет являться решением исходного логарифмического уравнения.

Пример 5

Напоследок приведем пример решения логарифмического уравнения, в котором присутствуют логарифмы с разными основаниями:

 log2x+logx4=0 

При решении логарифмических уравнений с разными основаниями пользуются формулой перехода от одного основания логарифма к другому:

 logyx=(logax)/(logay) 

Используем данное свойство для решения исходного уравнения. Перейдем к логарифму с основанием 2:

 log2x-logx4=0  logx4=(log24)/(log2x)=2/(log2x)  log2x-2/(log2x)=0  (log2x)2-2=0  (log2x)2=2  log2x=±√2  x1=2√2 x2=2-√2



Источник: prosto-o-slognom.ru


Добавить комментарий