Степенные двойки

Степенные двойки

Пусть c_{n} — первая цифра числа 2^{n} (в десятичной записи).

  1. Сколько единиц среди первых 1000 членов этой последовательности?
  2. Докажите, что в последовательности

    $$ c_{1}=2, \quad c_{2}=4, \quad c_{3}=8, \quad c_{4}=1, \quad c_{5}=3, \quad… $$

    встретится ровно 57 различных «слов» c_{k}c_{k+1}...c_{k+12} длины 13.

Решение

  1. Отметим на «логарифмической шкале» y=\log_{10}{x} числа x=2^{n} (каждая следующая отметка получается из предыдущей сдвигом на расстояние   \log_{10}{2}). Число x начинается с 1, если   10^{k} \le x < 2 \cdot 10^{k+1}   для некоторого k; соответствующие интервалы на рисунке 1 выделены красным (поскольку длина интервала как раз равна   \log_{10}{2}, на каждый из них попадает ровно одна отметка). Поскольку

    $$ \log_{10}{2} = 0.30103…, \quad 10^{301} \le 2^{1000} < 10^{302}, $$

    так что   2^{n}(n=0,1,2,...,1000)   ровно 301 раз перейдет через степень 10 и поэтому (не считая 2^{0}=1) 301-ый её член начинается с 1.

  2. line

  3. Чтобы более детально разобраться в закономерностях последовательности c_{n}, свернем логарифмическую шкалу y=\log{10}{x} в «логарифмический круг» z=y-\left[ y \right]: каждый отрезок от 10^k до 10^{k+1} даёт новый оборот круга, а точки 0=\log_{10}{1}, \quad \log_{10}{2}, \quad \log_{10}{3}, \quad ..., \quad \log_{10}{9} — границы интервалов, в которых расположены значения z, соответствующие различным первым значащим цифрам числа x от 1 до 9 (см. рисунок 2).

    log_circle

    Прежде чем решать задачу (2), объясним идею рассуждения на более простом примере: выясним, сколько разных пар \left( c_{k}, c_{k+1} \right) цифр встречается в нашей последовательности. Читать далее «М1473. О записи степеней двойки»

Поделиться ссылкой:



Источник: ib.mazurok.com


Добавить комментарий