Решение неоднородных дифференциальных уравнений онлайн

Решение неоднородных дифференциальных уравнений онлайн


Определение и формулы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Если функция f\left(x\right)\equiv 0, то уравнение (1) называется однородным:

    \[a_{n} y^{\left(n\right)} +a_{n-1} y^{\left(n-1\right)} +...+a_{1} y'+a_{0} y=0 \qquad (2)\]

Решение линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2), называется уравнение

    \[a_{n} k^{n} +a_{n-1} k^{n-1} +...+a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (3)\]

Пусть k_{1} ,\; k_{2} ,...,\; k_{r} – различные корни характеристического многочлена (3) кратностей m_{1} ,\; m_{2} ,...,\; m_{r} соответственно, то есть m_{1} +m_{2} +...+m_{r} =n. Тогда функции

    \[x^{t} e^{k_{j} x} ,\; 1\le j\le r,\; 0\le t\le m_{j} -1\]

являются линейно независимыми решениями однородного уравнения (2) и образуют фундаментальную систему решений. Общее решение этого уравнения является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

    \[a_{2} y''+a_{1} y'+a_{0} y=0 \qquad (4)\]

Пусть k_{1} ,\; k_{2} – корни его характеристического уравнения

    \[a_{2} k^{2} +a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (5)\]

Решение этого уравнения зависит от значения дискриминанта

    \[D=a_{1}^{2} -4a_{2} a_{0} \]

Если D>0, то уравнение имеет два различных действительных корня

    \[k_{1,\, 2} =\frac{-a_{1} \pm \sqrt{D} }{2a_{2} } \]

Тогда решение дифференциального уравнения (4)

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} \]

Если D=0, то характеристическое уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня

    \[k_{1} =k_{2} =k=-\frac{a_{1} }{2a_{2} } \]

и тогда общее решение

    \[y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{kx} \]

В случае, когда D<0, решением квадратного уравнения (5) есть два комплексно сопряженных корня

    \[k_{1,\, 2} =\alpha \pm \beta i=\frac{-a_{1} }{2a_{2} } \pm \frac{\sqrt{\left|D\right|} }{2a_{2} } i\]

И общее решение имеет вид:

    \[y\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)\]

Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции. Если функция в правой части неоднородного уравнения (1) состоит из суммы, например, двух функций

    \[f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)\]

то и частное решение этого уравнения также состоит из суммы двух функций

    \[y_{chastn} \left(x\right)=y_{chastn\, 1} \left(x\right)+y_{chastn\, 2} \left(x\right)\]

где y_{chastn\, 1} \left(x\right),\; y_{chastn\, 2} \left(x\right) являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями f_{1} \left(x\right) и f_{2} \left(x\right) соответственно.

В случае, когда правая часть f\left(x\right) является квазимногочленом, то есть имеет вид

    \[f\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(P_{m} \left(x\right)\cos \beta x+Q_{n} \left(x\right)\sin \beta x\right)\]

где P_{m} \left(x\right),\; Q_{n} \left(x\right) – заданные многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{\alpha x} \left(M_{k} \left(x\right)\cos \beta x+N_{k} \left(x\right)\cos \beta x\right)\cdot x^{s} \]

где M_{k} \left(x\right),\; N_{k} \left(x\right) – многочлены степени k=\max \left\{m,\; n\right\} с неизвестными коэффициентами, которые находятся подстановкой y_{chastn} \left(x\right) в заданное дифференциальное уравнение и применением метода неопределенных коэффициентов; s – кратностью комплексного числа k=\alpha \pm \beta i как корня характеристического уравнения однородного уравнения (2).

В частности, когда правая часть уравнения (1)

    \[f\left(t\right)=P_{n} \left(x\right)e^{ax} \]

то частное решение уравнения ищется в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=Q_{n} \left(x\right)e^{ax} \cdot x^{s} \]

Здесь Q_{n} \left(x\right) – многочлен той же самой степени, что и заданный многочлен P_{n} \left(x\right) с неопределенными коэффициентами, s – кратность a как корня характеристического уравнения (3) однородного уравнения (2).



Источник: ru.solverbook.com


Добавить комментарий