Работа и кинетическая энергия

Работа и кинетическая энергия

Кинетическая энергия и работа при вращательном движении

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловая скорость ( ) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения — момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где Iz — момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I1, I2 и I3. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω1, ω2, и ω3 — главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где — тензор инерции.

Если произвольная м.т. вращается по окружности и на нее действует сила (рис. 5.11), то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа dА = F ds, где ds=rdj.

Рис. 5.11

Тогда

  dА =(r F) dj = M dj. (5.18)

Полученное выражение остается справедливым и случае системы м.т., совершающих вращательное движение относительно оси z при w =сonst. В этом случае момент внутренних сил равен нулю и работа не совершается. Для нахождения полной работы необходимо вычислить интеграл

  , (5.19)

где Dj = j2 — j1.

Если действующая сила является потенциальной, то А= -dWp , где dWp — бесконечно малое изменение потенциальной энергии тела при повороте на малый угол dj, т.е. dWp =- Mzdj или Mz = — dWp/dj .

4 вращательное движение твердого тела. Угол поворота, угловые скорость и ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол φ между плоскостями П0 и П , одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.

 

φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.

 

Рис. 1.3

 

За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемаяугловой скоростью ω:

 

В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернется на угол 2π⋅ n, где n – число оборотов в минуту (об/мин). Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

 

Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости

где k – единичный вектор оси вращения.

Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:

 

Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)

 

 

Рис. 1.4

 

Если ε >0 и ω >0 (рисунок 1.4), то угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения Oz.

При ε <0 и ω <0 – тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения Oz .

Если ε <0 и ω >0, то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.

Если ε >0 при ω <0, то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным. Уравнение равномерного вращения

φ=φ0+ωt

Если угловое ускорение ε = const, то вращательное движение называется равнопеременным.

Уравнение равнопеременного вращения

и уравнение, выражающее угловую скорость в любой момент времени

ω=ω0+εt

представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

При движении точки по кривой линейная скорость направлена по касательной к кривой и по модулю равна произведению угловой скорости на радиус кривизны кривой.

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

5 энергия, работа, мощность. Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Различные формы энергии связывают с различными формами движения материи: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних случаях форма движения материи не изменяется (например, холодное тело нагревает горячее), в других — переходит в другую форму (например, механическое движение превращается в тепловое в результате трения). Однако существенно, что во всех перечисленных случаях энергия, отданная (в той или иной форме) от одного тела другому телу, равна энергии, которую получило последнее тело.

Изменение механического движения тела вызывается силами, которые действуют на него со стороны других тел. С целью количественно описать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, составляющая некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна проекции силы Fs на направление перемещения (Fs= Fcosα), умноженной на соответствующее перемещение точки приложения силы:

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(3)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

6 Закон сохранения энергии и импульса. Примеры. Приращение потенциальной энергии брошенного вверх тела происходит за счет убыли его кинетической энергии; при падении тела, приращение кинетической энергии происходит за счет убыли потенциальной энергии, так что полная механическая энергия тела не меняется. Аналогично, если на тело действует сжатая пружина, то она может сообщить телу некоторую скорость,
т. е. кинетическую энергию, но при этом пружина будет распрямляться, и ее потенциальная энергия будет соответственно уменьшаться; сумма потенциальной и кинетической энергий останется постоянной. Если на тело, кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то хотя при движении тела энергия каждого вида будет изменяться, но сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии пружины и кинетической энергии тела опять-таки будет оставаться постоянной.

Энергия может переходить из одного вида в другой, может переходить от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остаётся неизменным. Опыты и теоретические расчеты показывают, что при отсутствии сил трения и при воздействии только сил упругости и тяготения суммарная потенциальная и кинетическая энергия тела или системы тел остается во всех случаях постоянной. В этом и заключается закон сохранения механической энергии.

При образовании молнии происходит ряд изменений: нагревается воздух и разряжаются облака. Энергия тел зависит не только от их температуры, но и от распределения электрических зарядов на этих телах. При разряде изменяется и то и другое, но полная энергия облаков и воздуха остается неизменной. Эта неизменность полной энергии при всех происходящих процессах и представляет собой закон сохранения энергии

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой.

Сила лоренца и сила ампера.

Действие магнитного поля на проводник с током Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера.  
Сила действия однородного маг­нитного поля на проводник с током прямо пропорциональна силе тока, длине проводника, модулю вектора индукции магнитного поля, синусу угла между вектором индукции магнитного поля и проводником: F=B.I.. sin a — закон Ампера.
Направление силы Ампера (правило левой руки) Если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная составляющая вектора В входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по направлению тока, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током.
Действие магнитного поля на движущийся заряд.
Сила, действующая на заряженную движущуюся частицу в магнитном поле, называетсясилой Лоренца:    
Направление силы Лоренца (правило левой руки)Направление F определяется по правилу левой руки: вектор Fперпендикулярен векторам В и v..
Правило левой руки сформулировано для положительной частицы. Сила, действующая на отрицательный заряд будет направлена в противоположную сторону по сравнению сположительным.
Если вектор v частицы перпендикулярен вектору В, то частица описывает траекторию в виде окружности:   Роль центростремительной силы играет сила Лоренца:  
При этом радиус окружности: , а период обращения   не зависит от радиуса окружности!
Если вектор скорости и частицы не перпендикулярен В, то частица описывает траекторию в виде винтовой линии (спирали).
Действие магнитного поля на рамку с током
На рамку действует пара сил, в результате чего она поворачивается. 1. Направление вектора силы – правилу левой руки. 2. F=BIlsina=ma 3. M=Fd=BIS sina- вращающий момент

42 взаимодействие токов.Если близко один к другому расположены проводники с токами одного направления, то магнитные линии этих проводников, охва­тывающие оба проводника, обладая свойством продольного натяже­ния и стремясь сократиться, будут заставлять проводники притя­гиваться (рис. 90, а).

Магнитные линии двух проводников с токами разных направле­ний в пространстве между проводниками направлены в одну сто­рону. Магнитные линии, имеющие одинаковое направление, будут взаимно отталкиваться. Поэтому проводники с токами противопо­ложного направления отталкиваются один от другого (рис. 90, б).

 

Рассмотрим взаимодействие двух параллельных проводников с токами, расположенными на расстоянии а один от другого. Пусть длина проводников равна l.

Магнитная индукция, созданная током I1 на линии расположе­ния второго проводника, равна

 

На второй проводник будет действовать электромагнитная сила

Магнитная индукция, созданная током I2 на линии расположе­ния первого проводника, будет равна

и на первый проводник действует электромагнитная сила

равная по величине силе F2

43 работа силы ампераДля вычисления этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно двигаться), который помещен в однородное внешнее магнитное поле, которое перпендикулярно плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера, рассчитывается по формуле

Под действием данной силы проводник передвинется параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, которая совершается магнитным полем, равна

так как ldx=dS — площадь, которую пересекает проводник при его перемещении в магнитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, который пронизывает эту площадь. Значит,

(1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Данная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Рассчитаем работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле. Будем считать, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения перейдет в положение М’, изображенное на рис. 2 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж или от нас) дано на рисунке. Контур М условно разобьем на два соединенных своими концами проводника: AВС и CDА.

Работа dA, которая совершается силами Ампера при иссследуемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников AВС (dA1) и CDA (dA2), т. е.

(2)

Силы, которые приложенны к участку CDA контура, образуют острые углы с направлением перемещения, поэтому совершаемая ими работа dA2>0. .Используя (1), находим, эта работа равна произведению силы тока I в нашем контуре на пересеченный проводником CDA магнитный поток. Проводник CDA пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ2, который пронизывает контур в его конечном положении. Значит,

(3)

Силы, которые действуют на участок AВС контура, образуют тупые углы с направлением перемещения, значит совершаемая ими работа dA1<0. Проводник AВС пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ1, который пронизывает контур в начальном положении. Значит,

(4)

Подставляя (3) и (4) в (2), найдем выражение для элементарной работы:

где dФ2—dФ1=dФ’ — изменение магнитного потока сквозь площадь, которая ограничена контуром с током. Таким образом,

(5)

Проинтегрировав выражение (5), найдем работу, которая совершается силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:

(6)

Магнитный поток. Основные теоремы магнитостатики. Магнитное поле соленоида. В однородном магнитном поле, модуль вектора индукции которого равен В, помещен плоский замкнутый контур площадью S. Нормаль n к плоскости контура составляет угол a с направлением вектора магнитной индукции В.

Магнитным потоком через поверхность называется величина Ф, определяемая соотношением:

Φ = B · S · cos α

Единица измерения магнитного потока в систем СИ — 1 Вебер (1 Вб).

1 Вб = 1 Тл · 1 м2

Магнитный поток через контур максимален,если плоскость контура перпендикулярна магнитному полю. Значит угол a равен 00 .

Тогда магнитный поток рассчитывается по формуле:

Φmax = B · S

Рис.1

 

Из выражения (5) непосредственно вытекает дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)

(где s = A cos(ω0t+φ)). Решением данного дифференциального уравнения является выражение (1).

56 гармонические осцилляторы. Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити).

Используйте клавиши, размещенные в панели демонстрационного окна,
для просмотра других изображений и пояснений.

Для доступа к еще одной демонстрации математического маятника подведите курсор к выделенному здесь тексту.
Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются: пружинный, математический и физический маятники, а также колебательный контур (для малых токов и напряжений).

Пружинный маятникэто груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы (рис. 1.7).

Уравнение движения маятника:

Из сравнения выражений (1.4.3) и (1.6.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой ω и периодом Т, где

; .

 

Рис. 1.7

Эти формулы справедливы для упругих колебаний в пределах, когда выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела и ее деформация не превышает предела упругости.

Дисперсия.

кинетическая энергия и работа при вращательном движении

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловая скорость ( ) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения — момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где Iz — момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I1, I2 и I3. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω1, ω2, и ω3 — главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где — тензор инерции.

Если произвольная м.т. вращается по окружности и на нее действует сила (рис. 5.11), то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа dА = F ds, где ds=rdj.

Рис. 5.11

Тогда

  dА =(r F) dj = M dj. (5.18)

Полученное выражение остается справедливым и случае системы м.т., совершающих вращательное движение относительно оси z при w =сonst. В этом случае момент внутренних сил равен нулю и работа не совершается. Для нахождения полной работы необходимо вычислить интеграл

  , (5.19)

где Dj = j2 — j1.

Если действующая сила является потенциальной, то А= -dWp , где dWp — бесконечно малое изменение потенциальной энергии тела при повороте на малый угол dj, т.е. dWp =- Mzdj или Mz = — dWp/dj .

4 вращательное движение твердого тела. Угол поворота, угловые скорость и ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол φ между плоскостями П0 и П , одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.

 

φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.

 

Рис. 1.3

 

За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемаяугловой скоростью ω:

 

В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернется на угол 2π⋅ n, где n – число оборотов в минуту (об/мин). Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

 

Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости

где k – единичный вектор оси вращения.

Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:

 

Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)

 

 

Рис. 1.4

 

Если ε >0 и ω >0 (рисунок 1.4), то угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения Oz.

При ε <0 и ω <0 – тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения Oz .

Если ε <0 и ω >0, то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.

Если ε >0 при ω <0, то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным. Уравнение равномерного вращения

φ=φ0+ωt

Если угловое ускорение ε = const, то вращательное движение называется равнопеременным.

Уравнение равнопеременного вращения

и уравнение, выражающее угловую скорость в любой момент времени

ω=ω0+εt

представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

При движении точки по кривой линейная скорость направлена по касательной к кривой и по модулю равна произведению угловой скорости на радиус кривизны кривой.

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

5 энергия, работа, мощность. Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Различные формы энергии связывают с различными формами движения материи: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних случаях форма движения материи не изменяется (например, холодное тело нагревает горячее), в других — переходит в другую форму (например, механическое движение превращается в тепловое в результате трения). Однако существенно, что во всех перечисленных случаях энергия, отданная (в той или иной форме) от одного тела другому телу, равна энергии, которую получило последнее тело.

Изменение механического движения тела вызывается силами, которые действуют на него со стороны других тел. С целью количественно описать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, составляющая некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна проекции силы Fs на направление перемещения (Fs= Fcosα), умноженной на соответствующее перемещение точки приложения силы:

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(3)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

6 Закон сохранения энергии и импульса. Примеры. Приращение потенциальной энергии брошенного вверх тела происходит за счет убыли его кинетической энергии; при падении тела, приращение кинетической энергии происходит за счет убыли потенциальной энергии, так что полная механическая энергия тела не меняется. Аналогично, если на тело действует сжатая пружина, то она может сообщить телу некоторую скорость,
т. е. кинетическую энергию, но при этом пружина будет распрямляться, и ее потенциальная энергия будет соответственно уменьшаться; сумма потенциальной и кинетической энергий останется постоянной. Если на тело, кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то хотя при движении тела энергия каждого вида будет изменяться, но сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии пружины и кинетической энергии тела опять-таки будет оставаться постоянной.

Энергия может переходить из одного вида в другой, может переходить от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остаётся неизменным. Опыты и теоретические расчеты показывают, что при отсутствии сил трения и при воздействии только сил упругости и тяготения суммарная потенциальная и кинетическая энергия тела или системы тел остается во всех случаях постоянной. В этом и заключается закон сохранения механической энергии.

При образовании молнии происходит ряд изменений: нагревается воздух и разряжаются облака. Энергия тел зависит не только от их температуры, но и от распределения электрических зарядов на этих телах. При разряде изменяется и то и другое, но полная энергия облаков и воздуха остается неизменной. Эта неизменность полной энергии при всех происходящих процессах и представляет собой закон сохранения энергии

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой.



Источник: cyberpedia.su


Добавить комментарий