Подробно решение уравнений

Подробно решение уравнений

Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – a или на ах + b, является схема Горнера.

Рассмотрим схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – a через

Q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1, а остаток через bn.

Так как Р(х) = Q(x)(х–) + bn, то имеет место равенство

а0xn + а1xn-1 + … + аn = (b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1)(х–a ) + bn

Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а0 = b0 и при 1 < k < n имеют место соотношения аk = bk — a bk-1. Отсюда следует, что b0 = а0 и bk = аk + a bk-1, 1 < k < n.

Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка bn запишем в виде таблицы:

а0

а1

а2

аn-1

аn

b0 = а0

b11 + b0

b22 + b1

bn-1n-1+ bn-2

bn= аn+ bn-1

Пример 1. Разделить многочлен 2x4 – 7x3 – 3х2 + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему Горнера.

 

2

-7

-3

5

-1

-1

2

-9

6

-1

0

При делении 2x4 – 7x3 – 3х2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x3 – 9х2 + 6x – 1

Ответ: 2x3 – 9х2 + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x5 – 7x4 + 5х3 – 2х + 1

Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:

 

4

-7

5

0

-2

1

3

4

5

20

60

178

535

Ответ: Р(3) = 535

Упражнение

1) Используя схему Горнера, разделить многочлен

4x3 – x5 + 132 – 8х2 на х + 2;

2) Разделить многочлен

2x2 – 3x3 – х + х5 + 1 на х + 1;

3) Найти значение многочлена Р5(х) = 2х5 – 4х4 – х2 + 1 при х = 7.

1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.

Доказательство: а0xn + а1xn-1 + … + аn = 0

Пусть х = р/q – рациональный корень, q, p – взаимнопростые.

Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим

а0рn + а1рn-1q+ … + аn-1pqn-1 + anqn = 0 (1)

Перепишем (1) двумя способами:

anqn = р(– а0рn-1 – а1рn-2q – … – аn-1qn-1) (2)

а0рn = q (– а1рn-1 –… – аn-1рqn-2 – аnqn-1) (3)

Из равенства (2) следует, что anqn делится на р, и т.к. qn и р взаимно просты, то an делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а0 делится на q. Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение 2x3 – 7x2 + 5х – 1 = 0.

Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел ± 1, ± 1/2, обозначим Р3(х) = 2x3 – 7x2 + 5х – 1, Р3(1) 0, Р3(–1) 0,

Р3(1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.

2x3 – 7x2 + 5х – 1 = 2x3 – x2 – 6 x2+ 3х + 2х– 1 = 0.

Получим: x2(2х – 1) – 3x(2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x2 – 3x+ 1) = 0.

Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим

Ответ: ,

Упражнения

Решить уравнения:

  1. 6x3 – 25x2 + 3х + 4 = 0;
  2. 6x4 – 7x3 – 6х2+ 2х + 1 = 0;
  3. 3x4 – 8x3 – 2х2+ 7х – 1 = 0;

1.2. Возвратные уравнения и методы решения

Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида

аxn + bxn-1 + cxn-2 + … + cx2+ bx + а = 0

Возвратное уравнение нечетной степени

аx2n+1 + bx2n + cx2n-1 + … + cx2+ bx + а = 0

всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и . Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.

Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени

аx2n + bx2n-1 + … + dxn+1+ exn + dxn-1 + … + bx + а = 0

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на хn, получим

аxn + bxn-1 + … + dx + e + dx-1 + … + bx1-n + аx-n = 0

Группируем попарно члены левой части

а(xn + x-n) + b(xn-1 + x-(n-1) + … + d(x + x-1) + e = 0

Делаем замену х + х-1 = у. После подстановки выражений х2 + х-2 = у2 – 2;

х3 + х-3 = у3 – 3у; х4 + х-4 = у4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ауn + Byn-1 +Cyn-2 + … + Ey + D = 0.

Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х-1 = уk, где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х7 + х6 – 5х5 – 13х4 – 13х3 – 5х2 + 2х + 1 = 0.

Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.

 

1

2

— 5

-13

-13

-5

2

1

-1

1

1

-6

-7

-6

1

1

0

Наше уравнение примет вид:

(х + 1)(х6 + х5 – 6х4 – 7х3 – 6х2 + х + 1) = 0

1) х + 1 = 0, х = -1;

2) х6 + х5 – 6х4 – 7х3 – 6х2 + х + 1 = 0 | : x3 ? 0; х3 + х2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х2 + 1/х3=0.

Группируя, получим: .

Вводим замену: ; ; .

Получим относительно у уравнение: у3 – 3у + у2 – 2 – 6у – 7 = 0;

у3 + у2 – 9у– 9 = 0; у2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у2 – 9); у1 = -1, у2,3 = ± 3.

Решая уравнения , , ,

получим корни: , , ,

Ответ: х1 = -1, ,

Упражнения

Решить уравнения.

  1. 5 + 5х4 – 13х3 – 13х2 + 5х + 2 = 0;
  2. 4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2 = 0;
  3. 15х5 + 34х4 + 15х3 – 15х2 – 34х – 15 = 0.

1.3. Метод замены переменной при решении уравнений

Метод замены переменной — самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Если дано уравнение

F(f(x)) = 0, (1)

то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению

F(у) = 0, (2)

а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у1, у2, …, yn, … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у1, f(x) = у2,…, f(x) = у2, …

Основными способами реализации метода замены переменной являются:

  • использование основного свойства дроби;
  • выделение квадрата двучлена;
  • переход к системе уравнений;
  • раскрытие скобок парами;
  • раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
  • понижение степени уравнения;
  • двойная замена.

1.3.1. Понижение степени уравнения

Решить уравнение (х2 + х + 2)(х2 + х + 3) = 6 (3)

Решение. Обозначим х2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у1 = 2, у2 = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х2 + х + 2 = 2

х2 + х + 2 = -3

Решая первое, получим х1 = 0, х2 = -1. Решая второе, получим ,

Ответ: х1 = 0, х2 = -1, ,

1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

Пример. Решить уравнение (х — 1)(х — 7)(x -4)(x + 2) = 40

Решение. – 1- 4 = — 7 + 2, — 5 = — 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х2 — 5х — 14)(х2 — 5х + 4) = 40

Введем замену: х2 — 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у2 + 18у = 40, у2 + 18у – 40 = 0. у1 = -20, у2 = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:

1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех2,

где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х2 0.

Пример. (х — 1)(х — 2)(x — 8)(x — 4) = 4х2

Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 • (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х2 — 9х + 8)(х2 — 6х + 8) = 4х2.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t2 + 3t=4, t2 + 3t – 4=0, t1 =1, t2 = — 4.

Вернемся к исходной переменной:

Первое уравнение решаем, получим х1,2= 5 ±

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: х1,2= 5 ±

1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах2 + b1х + c)(aх2 + b2x + c) = Aх2

Уравнение (ах2 + b1х+ c)(aх2 + b2x + c) = Aх2, где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.

Пример. (х2 + х+ 2)(х2 + 2x + 2) = 2х2

Решение. Легко видно, что х = 0 не является корнем данного уравнения, разделив данное уравнение на х2, получим уравнение

замена , получим уравнение (у+1)(у+2) = 2, решив его, имеем корни у1 = 0; у2 = — 3, следовательно исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

решая, получим х1 = -1; х2 = -2.

Ответ: х1 = -1; х2 = -2

1.3.5. Уравнение вида: a(cx2 + p1x + q)2 + b(cx2 + p2x + q)2 = Ax2

Уравнение a(cx2 + p1x + q)2 + b(cx2 + p2x + q)2 = Ax2, где a, b, c, q, A таковы, что q 0, A 0, c 0, a 0, b 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х2, получим равносильное ему уравнение , которое после замены перепишется в виде квадратного уравнения, которое легко решается.

Пример. Решить уравнение

3(x2 + 2x — 1)2 – 2(x2 + 3x — 1)2 + 5x2 = 0

Решение. Легко видеть, что x = 0 не является корнем данного уравнения, поэтому, разделив обе части этого уравнения на x2, получим

, заменяя , получим уравнение

1.3.6. Уравнения вида: (x + a)4 + (x + b)4 = c

Уравнение этого вида, где а, b, с – данные числа, можно свести к биквадратному уравнению с помощью замены переменной

, т. е.

Пример. Решить уравнение.

(x — 1)4 + (x + 3)4 = 82

Решение. Обозначим , т. е. y = x + 1, или x = y – 1. Тогда уравнение примет вид: (y — 2)4 + (y + 2)4 = 82, применяя формулу

(a +b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, получим 2y4 + 48y2 + 2 • 16 = 82.

Далее легко решается.

Решить уравнения.

1) (x — 1)(x + 2)(x -3)(x + 4) = 144

2) (x + 3)(x + 1)(x + 5)(x + 7) = — 16

3) (x — 4)(x + 5)(x + 10)(x — 2) = 18x2

4) (x + 6)(x + 3)(x — 1)(x — 2) – 12x2 = 0

5) (x2 – 5x — 4)2 — 3(x3 – 5x2 – 4x) + 2x2 = 0

6) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12

7) (x — 4)4 + x4 = 82

8) (2x2 – 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2

1.3.7. Уравнения вида:

,

где a, b, c, A, B, E – постоянные, а 0.

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли х = 0 корнем уравнения, затем делят числитель, и знаменатель каждой дроби на х ? 0 и вводят замену

Пример 1. Решить уравнение.

Решение: Проверим х = 0 не корень уравнения. Делим числитель и знаменатель каждой дроби на х 0, получим: , делаем замену , получим , решая это уравнение, получим t1 = 6, t2 = — 1. Вернёмся к старой замене:



Источник: urok.1sept.ru


Добавить комментарий