Log a 1

Log a 1

Логарифм от a по основанию b (записывается как log_b(a), b — нижним индексом, здесь так изобразить не могу) — это такое число, что при возведении b в степень, равную log_b(a), получается a:

b^(log_b(a)) = a
(^ — операция возведения в степень)

Допустимые значения аргумента и основания логарифма: a>0, b>0, b≠1

Частные случаи логарифма:
1) натуральный логарифм — логарифм по основанию e (которое так и называется: основание натурального логарифма. или Неперево число) : e = 2,71828182845904523536028747135266…
Число e встречается в математике весьма часто; например, т. н. второй замечательный предел:
lim (1+1/n)^n = e
n→∞
Натуральный логарифм обозначается так: ln x (≡ log_e(x))
Производная натурального логарифма равна 1/x: (ln x)’ = 1/x.
2) десятичный лографм — логарифм по основанию 10. Часто используется в физике, астрономии и пр. прикладных науках.
Обозначается так: lg x (≡log_10(x))

Примеры: log_2(8) = 3, т. к. 2³ = 8
lg(100) = 2, т. к. 10² = 100
ln(1/e) = −1, т. к. e^(−1) = 1/e
log_(½) (4) = −2, т. к. (½)^(−2) = 4

Свойства логарифма.

1. Логарифм по любому основанию от 1 равен 0:
log_b(1) = 0, b>0, b≠1
В частности, ln(1) = lg(1) = 0

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
log_b(ac) = log_b(a) + log_b(c)
В частности, ln(xy) = ln(x) + ln(y), lg(xy) = lg(x) + lg(y); x, y > 0
Например: log_3(9*27) = log_3(9) + log_3(27) = 2+3 = 5

3. Логарифм частного равен разности логарифмов:
log_b(a/c) = log_b(a) − log_b(c); b>0, b≠1; a, c > 0
В частности, ln(x/y) = ln x − ln y; lg(x/y) = lg x − lg y; x, y > 0
Например: lg(1/1000) = lg 1 − lg(1000) = 0 − 3 = −3

4. Логарифм степени равен произведению показателя степенр на логарифм основания:
log_b(a^c) = c • log_b(a); b>0, b≠1; a>0, c∈R
В частности, lg(x^y) = y * lg x; ln(x^y) = y * ln x; x>0, y∈R
Например: log_2(16³) = 3 * log_2(16) = 3*4 = 12

5. При замене основания логарифма и его аргумента получается обратное число:
Log_a(b) = 1/log_b(a); a, b >0; a,b ≠ 1
Например: log_16(2) = 1/log_2(16) = ¼

6. Изменение основания логарифма:
log_b(a) = log_c(a)/log_c(b)
В частности, lg x = ln x/ (ln 10); ln x = lg x/ (lg e) = ln 10 * lg x (см. свойство 5)
Например: log_35(x) = ln(x)/ln(35), x>0 (это свойство удобно для вычисления логарифмов с основанием, отличным от e и 10, на инженерном калькуляторе) .

Уфф… Кажется, ничего не забыл 🙂



Источник: otvet.mail.ru


Добавить комментарий