Как решать однородные тригонометрические уравнения

Как решать однородные тригонометрические уравнения

Сегодня мы займемся однородными тригонометрическими уравнениями. Для начала разберемся с терминологией: что такое однородное тригонометрическое уравнение. Оно имеет следующие характеристики:

  1. в нем должно быть несколько слагаемых;
  2. все слагаемые должны иметь одинаковую степень;
  3. все функции, входящие в однородное тригонометрическое тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент.

Алгоритм решения

Выделим слагаемые

И если с первым пунктом все понятно, то о втором стоить поговорить поподробней. Что значит одинаковая степень слагаемых? Давайте рассмотрим первую задачу:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Первое слагаемое в этом уравнении —3cosx 3\cos x. Обратите внимание, здесь есть только одна тригонометрическая функция — cosx \cos x — и больше никаких других тригонометрических функций здесь не присутствует, поэтому степень этого слагаемого равна 1. То же самое со вторым — 5sinx 5\sin x — здесь присутствует только синус, т. е. степень этого слагаемого тоже равна единице. Итак, перед нами тождество, состоящее из двух элементов, каждое из которых содержит тригонометрическую функцию, и при этом только одну. Это уравнение первой степени.

Переходим ко второму выражению:

4sin 2 x+sin2x−3=0

4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0

Первый член этой конструкции — 4sin 2 x 4{{\sin }^{2}}x.

Теперь мы можем записать следующее решение:

sin 2 x=sinx⋅sinx

{{\sin }^{2}}x=\sin x\cdot \sin x

Другими словами, первое слагаемое содержит две тригонометрические функции, т. е. его степень равна двум. Разберемся со вторым элементом — sin2x \sin 2x. Вспомним такую формулу — формулу двойного угла:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

И опять, в полученной формуле у нас есть две тригонометрические функции — синус и косинус. Таким образом, степенное значение этого члена конструкции тоже равно двум.

Переходим к третьему элементу — 3. Из курса математики средней школы мы помним, что любое число можно умножать на 1, так и запишем:

˜ 3=3⋅1

А единицу с помощью основного тригонометрического тождества можно записать в следующем виде:

1=sin 2 x⋅cos 2 x

1={{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x

Следовательно, мы можем переписать 3 в следующем виде:

3=3(sin 2 x⋅cos 2 x) =3sin 2 x+3cos 2 x

3=3\left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x \right)=3{{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x

Таким образом, наше слагаемое 3 разбилось на два элемента, каждый из которых является однородным и имеет вторую степень. Синус в первом члене встречается дважды, косинус во втором — тоже дважды. Таким образом, 3 тоже может быть представлено в виде слагаемого со степенным показателем два.

С третьим выражением то же самое:

sin 3 x+sin 2 xcosx=2cos 3 x

Давайте посмотрим. Первое слагаемое — sin 3 x {{\sin }^{3}}x — это тригонометрическая функция третьей степени. Второй элемент — sin 2 xcosx {{\sin }^{2}}x\cos x.

sin 2 {{\sin }^{2}} — это звено со степенным значением два, умноженное на cosx \cos x — слагаемое первой. Итого, третий член тоже имеет степенное значение три. Наконец, справа стоит еще одно звено — 2cos 3 x 2{{\cos }^{3}}x — это элемент третьей степени. Таким образом, перед нами однородное тригонометрическое уравнение третьей степени.

У нас записано три тождества разных степеней. Обратите внимание еще раз на второе выражение. В исходной записи у одного из членов присутствует аргумент 2x 2x. Мы вынуждены избавиться от этого аргумента, преобразовав его по формуле синуса двойного угла, потому что все функции, входящие в наше тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент. И это требование для однородных тригонометрических уравнений.

Используем формулу основного тригонометрического тождества и записываем окончательное решение

С терминами мы разобрались, переходим к решению. Независимо от степенного показателя, решение равенств такого типа всегда выполняется в два шага:

1) доказать, что

cosx≠0

\cos x\ne 0. Для этого достаточно вспомнить формулу основного тригонометрического тождества (sin 2 x⋅cos 2 x=1) \left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x=1 \right) и подставить в эту формулу cosx=0 \cos x=0. Мы получим следующее выражение:

sin 2 x=1 sinx=±1

\begin{align}& {{\sin }^{2}}x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end{align}

Подставляя полученные значения, т. е. вместо cosx \cos x — ноль, а вместо sinx \sin x — 1 или -1, в исходное выражение, мы получим неверное числовое равенство. Это и является обоснованием того, что

cosx≠0

2) второй шаг логичным образом вытекает из первого. Поскольку

cosx≠0

\cos x\ne 0, делим обе наши стороны конструкции на cos n x {{\cos }^{n}}x, где n n — то само степенной показатель однородного тригонометрического уравнения. Что это нам дает:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

sinx cosx =tgx cosx cosx =1

\begin{align}& \frac{\sin x}{\cos x}=tgx \\& \frac{\cos x}{\cos x}=1 \\\end{align} \\{} \\\end{array}\]

Благодаря этому наша громоздкая исходная конструкция сводится к уравнению n n-степени относительно тангенса, решение которой легко записать с помощью замены переменной. Вот и весь алгоритм. Давайте посмотрим, как он работает на практике.

Решаем реальные задачи

Задача №1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Мы уже выяснили, что это однородное тригонометрическое уравнение со степенным показателем, равным единице. Поэтому в первую очередь выясним, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Предположим противное, что

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем:

3⋅0+5⋅(±1) =0 ±5=0

\begin{align}& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end{align}

На основании этого можно сказать, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Разделим наше уравнение на cosx \cos x, потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим:

3(cosx cosx ) +5(sinx cosx ) =0 3+5tgx=0 tgx=−3 5

\begin{align}& 3\left(\frac{\cos x}{\cos x} \right)+5\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac{3}{5} \\\end{align}

Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурироватьarctgx arctgx:

x=arctg(−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac{3}{5} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z

Поскольку arctg arctg arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg. Получим окончательный ответ:

x=−arctg3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac{3}{5}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z

Задача №2

4sin 2 x+sin2x−3=0

4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0

Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования:

4sin 2 x+2sinxcosx−3(sin 2 x+cos 2 x) =0 4sin 2 x+2sinxcosx−3sin 2 x−3cos 2 x=0 sin 2 x+2sinxcosx−3cos 2 x=0

\begin{align}& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=0 \\& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\& {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\\end{align}

Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим sin 2 {{\sin }^{2}}, т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим sinx \sin x и cosx \cos x — опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим cos 2 x {{\cos }^{2}}x — аналогично первому значению.

Докажем, что cosx=0 \cos x=0 не является решением данной конструкции. Для этого предположим противное:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\1=0 \\\end{array}\]

Мы доказали, что cosx=0 \cos x=0 не может быть решением. Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на cos 2 x {{\cos }^{2}}x. Почему в квадрате? Потому что степенной показатель этого однородного уравнения равен двум:

sin 2 x cos 2 x +2sinxcosx cos 2 x −3=0 tg 2 x+2tgx−3=0

\begin{align}& \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\frac{\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}-3=0 \\& t{{g}^{2}}x+2tgx-3=0 \\\end{align}

Можно ли решать данное выражение с помощью дискриминанта? Конечно можно. Но я предлагаю вспомнить теорему, обратную теореме Виета, и мы получим, что данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно:

(tgx+3) (tgx−1) =0 tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Z tgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin{align}& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{align}

Многие ученики спрашивают, стоит ли для каждой группы решений тождеств писать отдельные коэффициенты или не заморачиваться и везде писать один и тот же. Лично я считаю, что лучше и надежнее использовать разные буквы, чтобы в случае, когда вы будете поступать в серьезный технический вуз с дополнительными испытаниями по математике, проверяющие не придрались к ответу.

Задача №3

sin 3 x+sin 2 xcosx=2cos 3 x

{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{3}}x

Мы уже знаем, что это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, никакие специальные формулы не нужны, и все, что от нас требуется, это перенести слагаемое 2cos 3 x 2{{\cos }^{3}}x влево. Переписываем:

sin 3 x+sin 2 xcosx−2cos 3 x=0

{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-2{{\cos }^{3}}x=0

Мы видим, что каждый элемент содержит в себе три тригонометрические функции, поэтому это уравнение имеет степенное значение, равное трем. Решаем его. В первую очередь, нам нужно доказать, чтоcosx=0 \cos x=0 не является корнем:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end{array}\]

Подставим эти числа в нашу исходную конструкцию:

(±1) 3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0 ±1=0

\begin{align}& {{\left(\pm 1 \right)}^{3}}+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end{align}

Следовательно, cosx=0 \cos x=0 не является решением. Мы доказали, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Теперь, когда мы это доказали, разделим наше исходное уравнение на cos 3 x {{\cos }^{3}}x. Почему именно в кубе? Потому что мы только что доказали, что наше исходное уравнение имеет третью степень:

sin 3 x cos 3 x +sin 2 xcosx cos 3 x −2=0 tg 3 x+tg 2 x−2=0

\begin{align}& \frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}+\frac{{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{3}}x}-2=0 \\& t{{g}^{3}}x+t{{g}^{2}}x-2=0 \\\end{align}

Введем новую переменную:

tgx=t

Переписываем конструкцию:

t 3 +t 2 −2=0

{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=0

Перед нами кубическое уравнение. Как его решать? Изначально, когда я только составлял данный видеоурок, то планировал предварительно рассказать о разложении многочленов на множители и прочих приемов. Но в данном случае все намного проще. Взгляните, наше тождество приведенное, при слагаемом с наибольшей степенью стоит 1. Кроме того, все коэффициенты целые. А это значит, что мы можем воспользоваться следствием из теоремы Безу, которое гласит, что все корни являются делителями числа -2, т. е. свободного члена.

Возникает вопрос: на что делится -2. Поскольку 2 — число простое, то вариантов не так уж много. Это могут быть следующие числа: 1; 2; -1; -2. Отрицательные корни сразу отпадают. Почему? Потому что оба они по модулю больше 0, следовательно, t 3 {{t}^{3}} будет больше по модулю, чем t 2 {{t}^{2}}. А так как куб — функция нечетная, поэтому число в кубе будет отрицательным, а t 2 {{t}^{2}} — положительным, и вся эта конструкция, при t=−1 t=-1 и t=−2 t=-2, будет не больше 0. Вычитаем из него -2 и получаем число, которое заведомо меньше 0. Остаются лишь 1 и 2. Давайте подставим каждое из этих чисел:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text{ }1+1-2=0\to 0=0

Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, t=1 t=1 является корнем.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 не является корнем.

Согласно следствию и все той же теореме Безу, любой многочлен, чьим корнем является x 0 {{x}_{0}}, представим в виде:

Q(x)=(x=x 0 )P(x)

Q(x)=(x={{x}_{0}})P(x)

В нашем случае в роли x x выступает переменная t t, а в роли x 0 {{x}_{0}} — корень, равный 1. Получим:

t 3 +t 2 −2=(t−1)⋅P(t)

{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=(t-1)\cdot P(t)

Как найти многочлен P(t) P\left(t \right)? Очевидно, нужно сделать следующее:

P(t)=t 3 +t 2 −2 t−1

P(t)=\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2}{t-1}

Подставляем:

t 3 +t 2 +0⋅t−2 t−1 =t 2 +2t+2

\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+0\cdot t-2}{t-1}={{t}^{2}}+2t+2

Итак, наш исходный многочлен разделился без остатка. Таким образом, мы можем переписать наше исходное равенство в виде:

(t−1)(t 2 +2t+2)=0

(t-1)({{t}^{2}}+2t+2)=0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель мы уже рассмотрели. Давайте рассмотрим второй:

t 2 +2t+2=0

{{t}^{2}}+2t+2=0

Опытные ученики, наверное, уже поняли, что данная конструкция не имеет корней, но давайте все-таки посчитаем дискриминант.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Дискриминант меньше 0, следовательно, выражение не имеет корней. Итого, огромная конструкция свелась к обычному равенству:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

t=\text{ }1 \\tgx=\text{ }1 \\x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{array}\]

В заключение хотелось бы добавить пару замечаний по последней задаче:

  1. всегда ли будет выполняться условие cosx≠0 \cos x\ne 0,и стоит ли вообще проводить эту проверку. Разумеется, не всегда. В тех случаях, когда cosx=0 \cos x=0 является решением нашего равенства, следует вынести его за скобки, и тогда в скобках останется полноценное однородное уравнение.
  2. что такое деление многочлена на многочлен. Действительно, в большинстве школ этого не изучают, и когда ученики впервые видят такую конструкцию, то испытывают легкий шок. Но, на самом деле, это простой и красивый прием, который существенно облегчает решение уравнений высших степеней. Разумеется, ему будет посвящен отдельный видеоурок, который я опубликую в ближайшее время.

Ключевые моменты

Однородные тригонометрические уравнения — любимая тема на всевозможных контрольных работах. Решаются они очень просто — достаточно один раз потренироваться. Чтобы было понятно, о чем речь, введем новое определение.

Однородное тригонометрическое уравнение — это такое, в котором каждое ненулевое слагаемое которого состоит из одинакового количества тригонометрических множителей. Это могут быть синусы, косинусы или их комбинации — метод решения всегда один и тот же.

Степень однородного тригонометрического уравнения — это количество тригонометрических множителей, входящих в ненулевые слагаемые.Примеры:

    sinx+15 cos x=0

    \sin x+15\text{ cos }x=0 — тождество 1-й степени;

    2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

    2\text{ sin}2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 — 2-й степени;

    sin3x+2sinxcos2x=0

    \sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 — 3-ей степени;

    sinx+cosx=1

    \sin x+\cos x=1 — а это уравнение не является однородным, поскольку справа стоит единица — ненулевое слагаемое, в котором отсутствуют тригонометрические множители;

    sin2x+2sinx−3=0

    \sin 2x+2\sin x-3=0 — тоже неоднородное уравнение. Элемент sin2x \sin 2x — второй степени (т.к. можно представить

    sin2x=2sinxcosx

    \sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x — первой, а слагаемое 3 — вообще нулевой, поскольку ни синусов, ни косинусов в нем нет.

Общая схема решения

Схема решения всегда одна и та же:

Предположим, что cosx=0 \cos x=0. Тогда sinx=±1 \sin x=\pm 1 — это следует из основного тождества. Подставляем sinx \sin x и cosx \cos x в исходное выражение, и если получается бред (например, выражение 5=0 5=0), переходим ко второму пункту;

Делим все на степень косинуса: cosx,cos2x,cos3x… — зависит от степенного значения уравнения. Получим обычное равенство с тангенсами, которое благополучно решается после замены tgx=t.

tgx=tНайденные корни будут ответом к исходному выражению.

С помощью этого видеоурока учащиеся смогут изучить тему однородных тригонометрических уравнений.

Дадим определения:

1) однородное тригонометрическое уравнение первой степени выглядит как a sin x + b cos x = 0;

2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени выглядит как a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Рассмотрим уравнение a sin x + b cos x = 0. Если а будет равно нулю, то уравнение будет выглядеть как b cos x = 0; если b равно нулю, то уравнение будет выглядеть как a sin x = 0. Это уравнения, которые мы называли простейшими и решали ранее в предыдущих темах.

Сейчас рассмотрим вариант, когда a и b не равны нулю. С помощью деления частей уравнения на косинус x и осуществим преобразование. Получим a tg x + b = 0, тогда tg x будет равен — b/а.

Из вышеизложенного следует вывод, что уравнение a sin mx + b cos mx = 0 является однородным тригонометрическим уравнением I степени. Чтобы решить уравнение, его части делят на cos mx.

Разберем пример 1. Решить 7 sin (x/2) — 5 cos (x/2) = 0. Сначала части уравнения делим на косинус(x/2). Зная, что синус, деленный на косинус, это тангенс, получим 7 tg (x/2) — 5 = 0. Преобразовывая выражение, найдем, что значение тангенса (x/2)равно 5/7. Решение данного уравнения имеет вид х = arctg a + πn, в нашем случае х = 2 arctg (5/7) + 2πn.

Рассмотрим уравнение a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) при а равном нулю уравнение будет выглядеть как b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Преобразуя, получим выражение cos x (b sin x + c cos x) = 0 и перейдем к решению двух уравнений. После деления частей уравнения на косинус x, получим b tg x + c = 0, а значит tg x = — c/b. Зная, что х = arctg a + πn, то решением в данном случае будет х = arctg (- с/b) + πn.

2) если а не равно нулю, то, путем деления частей уравнения на косинус в квадрате, получим уравнение, содержащее тангенс, которое будет квадратным. Это уравнение можно решить путем ввода новой переменной.

3) при с равном нулю уравнение примет вид a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение можно решить, если вынести синус x за скобку.

1. посмотреть, есть ли в уравнении a sin 2 x;

2. если в уравнении член a sin 2 x содержится, то решить уравнение можно путем деления обеих частей на косинус в квадрате и последующим введением новой переменной.

3. если в уравнении a sin 2 x не содержится, то решить уравнение можно с помощью выноса за скобки cosx.

Рассмотрим пример 2. Вынесем за скобки косинус и получим два уравнения. Корень первого уравнения x = π/2 + πn. Для решения второго уравнения разделим части этого уравнения на косинус x, путем преобразований получим х = π/3 + πn. Ответ: x = π/2 + πn и х = π/3 + πn.

Решим пример 3, уравнение вида 3 sin 2 2x — 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 и найдем его корни, которые принадлежат отрезку от — π до π. Т.к. это уравнение неоднородное, необходимо привести его к однородному виду. Используя формулу sin 2 x + cos 2 x = 1, получим уравнение sin 2 2x — 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Разделив все части уравнения на cos 2 x, получим tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Используя ввод новой переменной z = tg 2x, решим уравнение, корнем которого будет z = 1. Тогда tg 2x = 1, откуда следует, что x = π/8 + (πn)/2. Т.к. по условию задачи нужно найти корни, которые принадлежат отрезку от — π до π, решение будет иметь вид — π

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Однородные тригонометрические уравнения

Сегодня мы разберем, как решаются «Однородные тригонометрические уравнения». Это уравнения специального вида.

Познакомимся с определением.

Уравнение вида а sin x+ b cos x = 0 (а синус икс плюс бэ косинус икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

уравнение вида а sin 2 x+ b sin x cos x cos 2 x = 0 (а синус квадрат икс плюс бэ синус икс косинус икс плюс сэ косинус квадрат икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Если а=0 , то уравнение примет вид b cos x = 0.

Еслиb = 0 , то получим а sin x= 0.

Данные уравнения являются элементарными тригонометрическими, и их решение мы рассматривали на прошлых наших темах

Рассмотрим тот случай, когда оба коэффициента не равны нулю. Разделим обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x .

Это мы можем сделать, так как косинус икс отличен от нуля. Ведь, если cos x = 0 , то уравнение а sin x + b cos x = 0 примет вид а sin x = 0 , а ≠ 0, следовательно sin x = 0 . Что невозможно, ведь по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x+ cos 2 x =1 .

Разделив обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x , получим: + =0

Осуществим преобразования:

1. Так как = tg x, то = а tg x

2 сокращаем на cos x , тогда

Таким образом получим следующее выражение а tg x + b =0 .

Осуществим преобразование:

1.перенесем b в правую часть выражения с противоположным знаком

а tg x =- b

2. Избавимся от множителя а разделив обе части уравнения на а

tg x= — .

Вывод: Уравнение вида а sin m x+ b cos mx = 0 (а синус эм икс плюс бэ косинус эм икс равно нулю) тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Чтобы решить его, делят обе части на cos mx .

ПРИМЕР 1. Решить уравнение 7 sin — 5 cos = 0 (семь синус икс на два минус пять косинус икс на два равно нулю)

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos, получим

1. = 7 tg (так как соотношение синуса к косинусу — это тангенс, то семь синус икс на два деленное на косинус икс на два, равно 7 тангенс икс на два)

2. -5 = -5 (при сокращении cos)

Таки образом получили уравнение

7tg — 5 = 0, Преобразуем выражение, перенесем минус пять в правую часть, изменив знак.

Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t=, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид

х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет иметь вид:

Arctg + πn, найдем х

х=2 arctg + 2πn.

Ответ: х=2 arctg + 2πn.

Перейдем к однородному тригонометрическому уравнению второй степени

а sin 2 x+b sin x cos x + с cos 2 x= 0.

Рассмотрим несколько случаев.

I. Если а=0 , то уравнение примет вид b sin x cos x cos 2 x = 0.

При решении э то уравнения используем метод разложения на множители. Вынесем cos x за скобку и получим: cos x (b sin x cos x )= 0 . Откуда cos x = 0 или

b sin x + с cos x= 0. А эти уравнения мы уже умеем решать.

Разделим обе части уравнения почленно на cosх, получим

1 (так как соотношение синуса к косинусу — это тангенс).

Таким образом получаем уравнение: b tg х+с=0

Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= х, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид

х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет:

х = arctg + πn, .

II. Если а≠0 , то обе части уравнения почленно разделим на cos 2 x .

(Рассуждая аналогично, как и в случае с однородным тригонометрическим уравнением первой степени, косинус икс не может обратится в ноль).

III. Если с=0 , то уравнение примет вид а sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение решается методом разложения на множители (вынесем sin x за скобку).

Значит, при решении уравнения а sin 2 x + b sin x cos x cos 2 x = 0 можно действовать по алгоритму:

ПРИМЕР 2. Решить уравнение sinxcosx — cos 2 x= 0 (синус икс, умноженный на косинус икс минус корень из трех, умноженный на косинус квадрат икс равно нулю).

Решение. Разложим на множители (вынесем за скобку cosx). Получим

cos x(sin x — cos x)= 0, т.е. cos x=0 илиsin x — cos x= 0.

Ответ: х =+ πn, х= + πn.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение 3sin 2 2x — 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (три синус квадрат двух икс минус удвоенное произведение синуса двух икс на косинус двух икс плюс три косинус квадрат двух икс) и найти его корни, принадлежащие промежутку (- π; π).

Решение. Это уравнение не однородное, поэтому проведем преобразования. Число 2, содержащееся в правой части уравнения, заменим произведением 2·1

Так как по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x =1, то

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = раскрыв скобки получим: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Значит уравнение 3sin 2 2x — 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 примет вид:

3sin 2 2x — 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x — 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x — 2 sin 2 x — 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x — 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Применим способ почленного деления на cos 2 2x:

tg 2 2x — 2tg 2x + 1 = 0.

Введем новую переменную z= tg2х.

Имеем z 2 — 2 z + 1 = 0. Это квадратное уравнение. Заметив в левой части формулу сокращенного умножения — квадрат разности (), получим (z — 1) 2 = 0, т.е. z = 1. Вернемся к обратной замене:

Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= 2х, a =1 . А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид

х = arctg x a + πn, то решение нашего уравнения будет:

2х= arctg1 + πn,

х= + , (икс равно сумме пи на восемь и пи эн на два).

Нам осталось найти такие значения х, которые содержатся в интервале

(- π; π), т.е. удовлетворяют двойному неравенству — π х π. Так как

х= + , то — π + π. Разделим все части этого неравенства на π и умножим на 8, получим

перенесем единицу в право и в лево, поменяв знак на минус один

разделим на четыре получим,

для удобства в дробях выделим целые части

Этому неравенству удовлетворяют следующие целочисленные n: -2, -1, 0, 1

В этой статье мы рассмотрим способ решения однородных тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида. Напомню способ решения однородных уравнений второй степени:

Рассмотрим однородные уравнения вида

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на (можно разделить на или на )

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Если является, то мы выписываем этот корень, чтобы потом про него не забыть, а затем делим на это выражение.

Вообще, первым делом, при решении любого уравнения, в правой части которого стоит ноль, нужно попытаться разложить левую часть уравнения на множители любым доступным способом. А затем каждый множитель приравнять к нулю. В этом случае мы точно не потеряем корни.

Итак, осторожно разделим левую часть уравнения на выражение почленно. Получим:

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

Введем замену:

Получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение, найдем значения , а затем вернемся к исходному неизвестному.

При решении однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько важных вещей:

1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью основного тригонометрического тождества:

2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени — синус двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус двойного аргумента — к квадрату синуса или косинуса:

Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.

1 . Решим уравнение:

Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени: степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.

Прежде чем делить обе части уравнения на , необходимо проверить, что корни уравнения не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если , то title=»sin{x}0″>, следовательно их сумма не равна нулю.

Разделим обе части уравнения на .

Получим:

, где

, где

Ответ: , где

2 . Решим уравнение:

Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки . Сделаем это:

Решение первого уравнения: , где

Второе уравнение — однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на . Получим:

Ответ: , где ,

3 . Решим уравнение:

Чтобы это уравнение «стало» однородным, преобразуем в произведение, и представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:

Ответ: , где ,

4 . Решим уравнение:

Мы видим, что можем вынести за скобки . Сделаем это:

Приравняем каждый множитель к нулю:

Решение первого уравнения:

Второе уравнение совокупности представляет собой классическое однородное уравнение второй степени. Корни уравнения не являются корнями исходного уравнения, поэтому разделим обе части уравнения на :

Решение первого уравнения:

Решение второго уравнения.

Тип урока: обяснение нового материала. Работа проходит в группах. В каждой группе есть эксперт, который контролирует и направляет работу учащихся. Помогает слабым учащимся поверить в свои силы при решении данных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по теме

» Однородные тригонометрические уравнения»

(10-й класс)

Цель:

  1. ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
  2. сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
  3. научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
  4. развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
  5. стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока : урок формирования новых знаний.

Форма проведения : работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

Ход урока

I. Организационный момент

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией. Приложение 1.

Оценочный лист№

п\п

Фамилия имя

Домашнее задание

Познавательная активность

Решение уравнений

Самостоятельная

работа

Оценка

II. Актуализация опорных знаний..

Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. Вспомним основные виды простейших тригонометрических уравнений. Поставьте с помощью стрелок соответствии между выражениями.

III. Мотивация обучения.

Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

Кроссворд.

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

1.Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

2.Единица измерения углов? (Радиан)

3.Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

4.Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

5.Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

6.Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

7.Как называется верное равенство? (Тождество)

8.Равенство с переменной? (Уравнение)

9.Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

10.Множество корней уравнения? (Решение)

IV. Объяснение нового материала.

Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”. (Презентация)

Примеры:

  1. sin x + cos x = 0
  2. √3cos x + sin x = 0
  3. sin 4x = cos 4x
  4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
  5. 4 sin 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
  6. sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
  7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
  8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
  9. sin 2x + 2cos 2x = 1

V. Самостоятельная работа

Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.
Учащимся предлагается выполнить письменную работу на 10 минут.
Учащиеся выполняют на чистых листочках под копировку. По истечении времени собираются вершки самостоятельной работы, а решения под копировку остаются у учащихся.
Проверка самостоятельной работы (3 мин) проводится взаимопроверкой.
. Учащиеся цветной ручкой проверяют письменные работы своего соседа и записывают фамилию проверяющего. Затем сдают листочки.

Потом сдают независимому эксперту.

1 вариант: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin 2x⁄sin x =0

2 вариант: 1) cosx + √3sin x = 0

2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Подведение итогов урока

VII. Задание на дом:

Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)

Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)

Решение уравнений 1 балл

Самостоятельная работа – 4 балла



Источник: kollege.ru


Добавить комментарий