Ctg x 1 решение

Ctg x 1 решение

Задание.
Решить уравнение tg x + ctg x = 2.

Решение.
Представим функции тангенс и котангенс в виде частного синуса и косинуса:

    \[\frac{{\sin  x\ }}{{\cos  x\ }}+\frac{{\cos  x\ }}{{\sin  x\ }}=2.\]

Поскольку по правилам дробей знаменатель не может быть равен нулю, то косинус х и одновременно синус х не будет равен нулю для данного уравнения. Следовательно:

    \[x\ne \frac{\pi}{2}z, z\in Z.\]

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим уравнение на произведение синуса и косинуса, которое, как мы выяснили, не равны нулю. При этом перенесем все слагаемые влево и приведем подобные:

    \[{{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }-2\cdot {\sin  x\ }\cdot {\cos  x\ }=0.\]

В левой части уравнения угадывается формула квадрата разницы, которую и запишем, используя формулу сокращенного умножения:

    \[{\left({\sin  x\ }-{\cos  x\ }\right)}^2=0.\]

Из полученного уравнения следует, что если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение будет равно нулю:

    \[{\sin  x\ }-{\cos  x\ }=0.\]

Полученное выражение содержит две функции — синус и косинус. Эти функции можно объединить одной — тангенсом. Для этого разделим уравнение на косинус х, который, как мы выяснили ранее, не равен нулю:

    \[{\rm tg}\ x-1=0.\]

Решением данного простого тригонометрического уравнения будут корни:

    \[x=\frac{\pi}{4}+\pi l, l\in Z.\]

Сравним полученные корни с ограничением, которое было получено вначале решения. Получаем, что данные корни не совпадают с ограничениями, поэтому их можно в полной мере считать решением уравнения.

Ответ. x=\frac{\pi}{4}+\pi l, l\in Z.



Источник: ru.solverbook.com


Добавить комментарий